Физика исследует фундаментальные законы природы. Другие естественные науки в той или иной степени используют достижения физики, прямо или косвенно опираются на нее.

Математика является универсальным языком физики и небесной механики. Языком астрономии от Птолемея до Кеплера была классическая геометрия. Языком Ньютона и Максвелла – математический анализ и дифференциальные уравнения в частных производных. Современная физика имеет в своем арсенале сложный и непонятный для большинства неспециалистов математический аппарат.

4. Аксиоматический метод

Современные математические теории и фундаментальные физические теории строятся аксиоматически. В основании теории находится небольшое количество первоначальных утверждений – аксиом, все остальные утверждения теории – теоремы – выводятся из этих аксиом c помощью логически безупречных доказательств. Эту традицию заложили древнегреческие геометры. Она знакома нам по школьному учебнику геометрии, по “Геометрии” Евклида. Уже в новое время этот подход назвали геометрическим методом, хотя правильнее его было бы назвать аксиоматическим методом. Его использовал Спиноза в своей знаменитой “Этике”. Конечно, это не был настоящий аксиоматический метод, а лишь подражание. “Начала” Ньютона также построены по геометрическому методу: там вы найдете определения, аксиомы, теоремы.

Первоначальная идея аксиоматического метода состояла в следующем. Аксиомы теории самоочевидны и потому не требуют доказательства. Значит они истинны. Следовательно, истинны и все безошибочно выведенные из них теоремы. Таким образом, вся теория, например геометрия Евклида, содержит только истину и ничего кроме истины.

Эта наивная точка зрения разделялась большинством математиков и многими философами на протяжении веков. Но постепенно стало выясняться, что:

1) Не все аксиомы так уж очевидны. Например, знаменитая аксиома параллельных (пятый постулат Евклида) имеет довольно сложную формулировку, что стимулировало многочисленные попытки её доказать. Оказалось, что это невозможно.

2) Самоочевидность – достаточно неопределенное понятие. Многие “самоочевидные истины” на поверку оказались ложными: что Земля плоская, иначе все моря и океаны стекли бы с нее; что движение и покой абсолютны – тело либо движется, либо покоится, третьего не дано; что все звезды и планеты движутся по окружностям, ибо это “единственно совершенный” вид движения; что время абсолютно и едино для всех.

3) В доказательствах геометрических теорем используются скрытые аксиомы, т.е. явно не сформулированные предпосылки. Таким образом, система аксиом Евклида явно не полна в рамках его теории.

4) Могут существовать различные противоречащие друг другу, но внутренне непротиворечивые аксиоматические теории одного и того же круга явлений, как геометрии Евклида и Лобачевского. Выбор между ними невозможен в рамках математики, т.е. без привлечения физики.

Все это привело к современному пониманию аксиоматического метода. Аксиомы – это исходные положения теории, из которых выводятся все остальные её положения. Сами аксиомы не доказываются. Здесь все как прежде. Но вопрос об истинности и самоочевидности аксиом уже не стоит. Главное, чтобы они не противоречили друг другу. Смысл аксиоматического подхода – в явной формулировке всех предпосылок теории. Если в последующем одно из следствий теории будет опровергнуто, ошибку следует искать в аксиомах.

Определений в традиционном смысле в современных аксиоматических теориях тоже нет. Первоначальные понятия теории определяются неявно через свои аксиомы. Например, в аксиоматической арифметике натуральных чисел нет определения натурального числа. Напротив, любое множество индивидов любой природы считается множеством натуральных чисел, если для него выполняются все аксиомы теории. Производные понятия определяются через первоначальные как удобные сокращения для формул. Например, возможно такое определение четности:

Четно(x) есть сокращение для формулы ∃y (y + y = x)

Математика создала и продолжает создавать большое количество теорий. Некоторые из них впоследствии оказываются востребованы физикой и другими естественными науками, другие ждут своего времени. Математические теории служат языком описания изучаемых явлений. Их иногда называют математическими моделями. Первыми такими моделями были арифметика и геометрия.

Задача математической логики – предоставить надежный инструмент извлечения выводов (следствий) из имеющихся предпосылок и, по возможности, доказать внутреннюю непротиворечивость теории. До появления формализованной логики так вопрос даже не ставился. Доказывалась лишь “условная” непротиворечивость. Так была доказана непротиворечивость геометрии Лобачевского при условии непротиворечивости геометрии Евклида путем “перевода” положений первой на язык второй. Была доказана непротиворечивость геометрии Евклида при условии непротиворечивости арифметики с помощью так называемой арифметизации. Но как доказать непротиворечивость арифметики?

Предложенное решение – формализация. Математическая теория переводится на строгий язык символической логики (формализуются) и подвергается жесткой проверке. Одно за другим выводятся следствия формальной теории. По возможности доказывается её непротиворечивость. Иногда это оказывается относительно просто, иногда нет. Непротиворечивость формальной арифметики была доказана только в 1936 году. К сожалению, непротиворечивость теории множеств Цермело-Френкеля не доказана, но доказана непротиворечивость её ограниченной части. Непротиворечивость теории групп доказывается относительно просто.

5. Формальные теории

Теперь я хочу привести несколько примеров довольно простых формальных теорий, сформулированных на языке логики предикатов первого порядка, чтобы, с одной стороны, продемонстрировать возможность формализовать некоторые виды рассуждений, которые неподвластны традиционной силлогистической и пропозициональной логике, с другой – показать, как можно обосновать непротиворечивость этих теорий.

a) Равенство

Простейшим примером формальной теории может служить следующая теория равенства. У этой теории имеется только один двухместный предикат – Eq(x, y) для отношения равенства. Для удобства вместо Eq(x, y) мы будем писать x = y. Из математики известно, что отношение равенства обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Поэтому для нашей теории мы примем следующие три аксиомы.

а1. ∀x (x = x) – рефлексивность
а2. ∀x∀y (x = y ⊃ y = x) – симметричность
а3. ∀x∀y∀z ((x = y) ∧ (y = z) ⊃ x = z) – транзитивность

Можно показать, что из них, в частности, выводится классическое правило “равные одному и тому же, равны между собой”.

t1. ∀x∀y∀z ((x = z) ∧ (y = z) ⊃ x = y)

Логика доказательства довольно простая. Если x = z и y = z, то обернув второе равенство (согласно a2), получим x = z и z = y. Далее, воспользовавшись транзитивностью (a3), заключаем, что x = y. Формальное доказательство менее прозрачно. Зато оно не страдает неоднозначностью, характерной для естественного языка, и, в принципе, может быть проверено компьютером. Вот это доказательство (комментарии справа предназначен для читателя-человека и не являются частью доказательства):

1. y = z ⊃ z = y – из а2 и аксиомы (2) исчисления предикатов (см. часть 2)
2. (x = z) ∧ (y = z) ⊃ (x = z) ∧ (z = y) – из 1 и тавтологии (q ⊃ r) ⊃ ((p ⊃ q) ⊃ (p ⊃ r))
3. (x = z) ∧ (z = y) ⊃ x = y – из а3
4. (x = z) ∧ (y = z) ⊃ x = y – из 2, 3 и тавтологии (p ⊃ q) ∧ (q ⊃ r) ⊃ (p ⊃ r)
5. ∀x∀y∀z ((x = z) ∧ (y = z) ⊃ x = y) – из 4 по правилу обобщения (3) исчисления предикатов.

Аналогично, можно доказать

t2. ∀x∀y∀z ((x = y) ∧ (x = z) ⊃ y = z)

В нашей теории можно определить отношение неравенства через отношение равенства.

d1. x ≠ y является сокращением для ¬ (x = y) 

Теперь мы можем доказать, например, такие теоремы:

t3. ∀x∀y (x ≠ y ⊃ y ≠ x)
t4. ∀x∀y∀z ((x = z) ∧ (y ≠ z) ⊃ x ≠ y)

Довольно легко показать, что построенная теория равенства непротиворечива. Дело в том, что если у формальной теории имеется хоть какая-то модель, то это теория непротиворечива. Для теории равенства можно предложить такую тривиальную модель: отношение x = y истинно для любых x, y. По сути дела, это модель на множестве, в котором ровно один элемент. Легко убедиться, что аксиомы а1-а3 истинны в данной модели. Т.е. данная модель является одной из возможных моделей теории равенства. Следовательно, теория непротиворечива.

б) Порядок

Рассмотрим формальную теорию порядка с единственным двухместным предикатом Lt(x, y) для отношения “меньше чем”, вместо которого будем писать x < y, и двумя аксиомами:

а4. ∀x ¬ (x < x) – иррефлексивность
а5. ∀x∀y∀z ((x < y) ∧ (y < z) ⊃ x < z) – транзитивность

Довольно легко доказать асимметричность отношения x < y.

t5. ∀x∀y (x < y ⊃ ¬ (y < x))

В самом деле, если бы t5 была неверна, то для каких-то x, y имело бы место x < y и y < x. Но из этого, в силу транзитивности (а5) следовало бы x < x, что противоречит а4. Формальное доказательство приведено ниже:

1. ((x < y) ∧ (y < x) ⊃ x < x – из а5 и аксиомы (2) исчисления предикатов.
2. ¬ (x < x) ⊃ ¬ ((x < y) ∧ (y < x)) – из 1 и (p ⊃ q) ⊃ (¬ q ⊃ ¬ p).
3. ¬ (x < x) – из a4.
4. ¬ ((x < y) ∧ (y < x)) – из 2 и 3.
5. ¬ ((x < y) ∧ (y < x)) ⊃ (x < y ⊃ ¬ (y < x)) – из тавтологии ¬ (p ∧ q) ⊃ (p ⊃ ¬ q).
6. x < y ⊃ ¬ (y < x) – из 4 и 5.
7. ∀x∀y (x < y ⊃ ¬ (y < x)) – из 6 по правилу обобщения (3) исчисления предикатов.

Возможными моделями для данной теории порядка могут служить множество натуральных чисел с естественным образом определенным отношением “меньше”, или ориентированный ациклический граф, или какое-то множество людей, где x < y понимается как “x есть предок y”. Для доказательства непротиворечивости можно воспользоваться тривиальной моделью, в которой x < y ложно для любых x, y. Это, опять же, равноценно модели с одним индивидом. Ясно, что в такой модели обе аксиомы a4, a5 выполняются.

в) Полный порядок

Теперь объединим обе теории в одну, т.е. новая теория будет содержать оба предиката – Eq(x, y), Lt(x, y) – и все пять аксиом – а1-а5. К ним мы добавим еще две.

a6. ∀x∀y (x < y ∨ y < x ∨ x = y) – полная определенность порядка.
a7. ∀x∀y∀z (x = y ⊃ ((x < z ⊃ y < z) ∧ (z < x ⊃ z < y))) – подстановочность равенства.

Аксиомы а1-а7 задают отношение полного порядка на множестве индивидов. Т.е. все индивиды выстраиваются в одну последовательность “в порядке возрастания”. Моделью для данной теории снова может служить множество, у которого всего один элемент. Для такой модели x = y всегда истинно, а x < y всегда ложно. Если мы хотим, чтобы наша теория порождала бесконечное множество индивидов, то мы можем добавить аксиому

а8. ∀x∃y (x < y).

Моделью для данной теории могут служить множество натуральных чисел с естественно определенными отношениями равенства и порядка, множество целых чисел, множество действительных чисел и любое бесконечное множество, на котором определен порядок элементов.

г) Конечное и бесконечное множество аксиом

Во всех приведенных выше примерах формальных аксиоматических теорий множество аксиом было конечным. Эти аксиомы можно соединить в одну формулу с помощью конъюнкции. Например, для нашей теории равенства получится формула:

а1 ∧ а2 ∧ а3

т.е.

∀x (x = x) ∧ ∀x∀y (x = y ⊃ y = x) ∧ ∀x∀y∀z ((x = y) ∧ (y = z) ⊃ x = z)

Таким образом, считать, что у данной теории несколько аксиом или всего одна – вопрос скорее удобства построения теории, чем существа дела.

К сожалению, не все формальные аксиоматические теории могут ограничиться конечным числом аксиом. Например, фундаментальный для арифметики принцип математической индукции не может быть записан на языке логики предикатов первого порядка одной формулой, хотя для логики предикатов второго порядка это возможно:

∀P (P(0) ∧ ∀n (P(n) ⊃ P(n + 1)) ⊃ ∀n P(n)).

Есть, однако, веские довод, почему при построении формальной аксиоматической теории желательно ограничиваться логикой предикатов первого порядка. Дело в том, что логика второго порядка неполна. В логике же первого порядка принцип математической индукции формулируют в виде аксиомной схемы, которая порождает бесконечное множество аксиом:

φ(0) ∧ ∀n(φ(n) ⊃ φ(n + 1)) ⊃ ∀n φ(n),

где φ(n) – любая формула данной теории. В последующих доказательствах, использующих принцип математической индукции in concreto, символ φ(n) заменяется конкретной формулой.

Вместо заключения

Существует два основных значения слова “Логика”.

(1) логика как искусство правильно рассуждать, строить выводы, находить ошибки в умозаключениях.

(2) логика как наука, исследующая методы правильных рассуждений, построения безошибочных выводов.

Очевидно, эти понятия логики связаны, но в каком-то смысле и независимы друг от друга. Человек, виртуозно владеющий логикой в смысле (1) может понятия не иметь о науке в смысле (2). К сожалению, бывает и наоборот – человек досконально знающий одну из форм науки в смысле (2), например традиционную логику в той форме, в какой она преподавалась вплоть до середины XIX века, может вообще не уметь логично мыслить и рассуждать. Тем, кто хочет научиться логике в смысле (1), я посоветовал бы изучать скорее школьную геометрию (т.е., по сути, геометрию Евклида) с её доказательствами, нежели учебники традиционной логики. Ничего кроме сочувствия не могут вызывать те так называемые логики, которые не знают математики и терпеть её не могут.

Логика в смысле (1) является предметом исследования логики в смысле (2). Поэтому не удивительно, что последняя может не охватывать целиком весь предмет, отставать в развитии. Так силлогистика Аристотеля далеко не охватывала все те формы рассуждений, которые использует в своих “Началах” Евклид. Эта существенная неполнота традиционной логики стала одним из источников кантовского различия аналитических и синтетических суждений. Достоверность теорем геометрии Кант находил в созерцании, а по сути дела – в геометрическом конструировании, в чертежах. Он пишет:

“Дайте философу понятие треугольника, и пусть он найдет свойственным ему способом, как относится сумма его углов к величине прямого угла… Сколько бы он ни размышлял над этим понятием, он не добудет ничего нового… Но пусть за тот же вопрос возьмется геометр. Он тотчас начнет с конструирования треугольника… [Он] продолжает одну из сторон своего треугольника и получает два смежных угла, сумма которых равна двум прямым углам. Внешний из этих углов он делит, проводя линию, параллельную противоположной стороне треугольника… Так, руководствуясь все время созерцанием, он цепью выводов приходит к совершенно очевидному и вместе с тем общему решению вопроса”. – Кант. Критика чистого разума // Сочинения в 6 томах, т.3, стр. 602

Кант был не прав в этом своем рассуждении. Он недооценивал роль логики в математике. Правда никакой другой логики, кроме традиционной, он не знал. Более того, он отвергал возможность прогресса в логике. Сегодня мы знаем, что достоверность теорем геометрии основывается лишь на ее аксиомах и логике. На чем основаны аксиомы – совсем другой вопрос. Чертежи же, в принципе, излишни. Они служат лишь иллюстрациями идеи доказательства. Правда, аксиом оказалось больше, чем у Евклида (см. например “Основания геометрии” Гильберта), а логика должна быть значительно мощнее, чем в “Первой аналитике” Аристотеля. Например, это может быть логика предикатов первого порядка.

В последние десятилетия мы узнали много нового о наших рассуждениях, о доказательствах. Наши представления значительно расширились. Мы узнали, что кроме достоверных и недостоверных методов рассуждений существуют также сомнительные. Например, трансфинитная индукция. К тому же, современная логика не ограничивается логикой предикатов. Последняя дала толчок развитию логических исследований разных форм рассуждений. Появились интуиционистская, модальная логика, релевантная, паранепротиворечивая и другие “логики”. Все они не оспаривают друг друга, как можно было бы подумать. Просто они исследуют различные логические аспекты наших рассуждений. Грубо говоря, даже рассуждая о противоречиях, мы должны делать это непротиворечиво. Многочисленные теоремы о взаимосвязи разных по форме логик демонстрируют внутреннее единство логики.