Попробую еще один заход. Тем более после Вашего "спасибо".

Итак, единичное существует:

6. ⍜1.

Вы критикуете Гегяля за хаос, а у Вас тут начинается не просто хаос, а путаница, похлеще гегелевского хаоса. Правда, вина не ваша. Эта путаница категорий БЫТИЯ и СУЩЕГО, которая идет во всей мировой философии 3000 лет. Хайдеггер дал ей названия "заслонение Бытия Сущим". Вы тоже в это заслонение попали. Поясню.

Если Вы определили ⍜ как Бытие, то символ ⍜1 означает бытие единицы.
Но если Вы вдруг наделяете бытие единцы существованием, то показываете, что "быть" и "существовать" - одно и то же. Хотя это не одно и тоже. Даже терминологически: ens и esse, то же в греческом. У Гегеля тоже: Бытию посвящен том 1 "Науки логики", а существованию - в общем весь второй раздел тома 2, и конкретно глава 1 "Существование".  

Следовательно, нужно как-то указать, что к бытию единицы Вы добавляете предикат существования, например, ⍜1(∃) или просто ∃⍜1, где ∃ - предикат существования, или сущего.
6. ∃⍜1.

Остаётся только ввести Иное как аксиому:

7. ⍜1'.

Если Вы вводите бытие иного - не возбраняется. Ваше желание, Ваше математическое иное.
Но Вы должны его также наделить предикатом существования ∃⍜1', потому что мало ли кто чего нафантазирует.
7. ∃⍜1'.

Но если Вы вводите ∃⍜1' (иное), зная, что перед этим ввели ∃⍜1 (бытие), Вы не можете лукавить и говорить, что не имеете понятия о множестве. Выделяя единицу из Сущего (Существоания), Вы не могли не знать, что Вы выделяете его из чего-то большего, чем единица.

8. ⍜1 ~ ⍜1'. Единичное подобно Иному

Полное согласие. Даже без предиката существования.

9. ⍜1 → ⍜¬1. Если Единичное существует , то неЕдиничное тоже существует.

Тоже полное согласие, теперь с предикатом существования ∃⍜1 → ∃⍜¬1. Как подтверждение саморазоблачения лукавства незнания множества.

10. ⨆(⍜ (1∧1'))

Полное согласие, как подтверждения моего согласия, как ранее уже отмечал в теме о ТРД,  с идеями Фреге, в частности: 1 = 0.

Снимаем экзистенцию:

11. Ō (1)
12. Ō (1')
13. Ō (¬1)

Не совсем понял, что означает операция съема экзистенции.
Правильно ли я интерпретирую: если с обозначения ∃⍜х убрать экзистенцию (существование) ∃, то получится значок Ō(х):
11, 12, 13.   ∃⍜1 = Ō(1).
т.е. черточка снизу перекочевала наверх, а индекс превратился в аргумент?

14. 1∧1'≡¬1≡ {}

У Георга Кантора эти самые скобки маскируют мутную операцию "схватывания". Фигурными скобками Кантор и фон Нейман "схватывают" всё что угодно: и Пустоту, и Единичное, и Бесконечность, и Противоречие, и упорядоченные пары, и даже прошлогодний снег, если сильно хочется.

Верно. Мне вот захотелось схватить Трансценденталии. Для их иллюстрации - формула универсума ТРД (ссылка):

U = {Θ, {ТРД}}

где ТРД - трансценденталии, U - универсум как множество, Θ - трансценденция, {ТРД} множество трансценденталий.

15. ∀ (⍜(1∧(1∧1')) | ¬ ∞
16. ¬⍜(1∧(1∧1') ≡ ∅

Логично для бытия (⍜) дальнейших математических преобразований.

Далее происходит синтез:

17. (⍜(1∧(1∧1') ጸ ¬⍜(1∧(1∧1'))

Не знаю, насколько тут Вы схватили синтез именно математических категорий, к тому же конкретных: Пустое, Многое, Единичное, Иное, но эта формула точно не работает для синтеза других, тем более нематематических, категорий: качество, реальность, сущность, идея, понятие, категория и т.д. и т.п. Откройте "Науку логики", там таких категорий сотни. Поэтому Вам с помощью этой формулы и не развеять их "хаос".

В свое время я предложил такую формулу синтеза:

Сергей Борчиков, 14 Декабрь, 2016 - 15:20, ссылка

(А↓С1 ጸ B↓С2)↑Сm = C↓G

Только сейчас я заменил знак + (синтез), на Ваш значок синтеза ጸ. И уточняю, что стрелки ↓ и ↑ - это соответственно операторы проекции и сюръекции. Остальное там в текстах.