Немного предыстории. В начале 20 века математики всерьез озаботились вопросом оснований всей математики. Одно из течений (Фреге, Рассел, Пеано) пыталось утвердить приоритет логики над математикой - т.н. логицизм. Тогда логицисты потерпели неудачу, а сама проблема оснований была заброшена на верхнюю полку.
.
Сейчас я попытаюсь доказать, почему логицизм невозможен.
.
Чем интересно математическое множество? Здесь качественный предикат соединяется в одном объекте с количеством элементов. Например, в множестве натуральных чисел предикат - " натуральные числа" , а мощность - 1,2,3... Числовые ряды как примеры любят математики, а я - не очень. Мне более привычно множество философов Сократ И Платон И Аристотель. Здесь союз И выражает логическую конъюнкцию, и это множество принципиально отличается от числовой последовательности. Здесь можно Сократа поменять с Платоном местами, и это никак не скажется на истинности.
.
Вопрос: выразима ли числовая последовательность средствами логики? Если выразима - то Количество вторично, а Качество первично.
.
Представим себе падение костяшек домино. Эти события выстраиваются в причинно связанную последовательность. Такое множество событий можно представить как цепь событий, каждое из которых является следствием предыдущего. Похоже на числовой ряд? Не совсем. Ведь время необратимо: упавшая костяшка не может вернуть в исходное состояние предыдущую. А в числовом ряду если известно следующее число - то известно и предыдущее (рекурсивность).
.
Вневременной аналог следования - вывод. В логике высказываний такая цепочка выглядит так: АͰВͰС. Такая цепь называется ещё абдукцией, так как выводимость В основывается только на одной посылке А, а не на двух, как в силлогизме. Абдукция источником истины не является. Но дело не только в этом, но и в том, что посылки не выводятся из следствия. Рекурсивность не соблюдена.
.
В свое время Джузеппе Пеано пытался создать аксиоматику логицизма:
1. 0 — натуральное число.
2. Каждое натуральное число n имеет единственный наследник n'.
3. 0 не является НАСЛЕДНИКОМ никакого натурального числа.
4. Два различных натуральных числа не могут иметь одинакового наследника.
5. Принцип математической индукции: если подмножество натуральных чисел содержит 0 и вместе с каждым числом содержит его наследника, то это подмножество содержит все натуральные числа.
.
Что здесь не так? Джузеппе вводит понятие Наследника (successor function), то есть интуитивно приходит к пресловутому Следованию. Но одного Наследника мало. Чтобы выразить логически числовой ряд, ещё нужен и Предок (predecessor function) - а с этим как раз проблема. Предок логически не выводится из Наследника.
.
Таким образом, Количество имеет собственную сущность и несводимо к Качеству. Но если кто то сможет это опровергнуть - я первым пропою ему осанну.