Как построить непротиворечивую логику на основании одной аксиомы?
1. А≡А⊧1 - аксиома
2. ¬(А≡¬А)⊧1 (1)
3. А≡¬А⊧0 (2) теорема Дунса Скотта
4. (А⊧1,А≡А)ͰА≡А∧А (1) теорема объема в конъюнкции
5. ¬(А∧¬А)⊧1(2,4)
6. А∧¬А⊧0(5) теорема непротиворечивости
7. А⊧1→¬А⊧0→¬(¬А)⊧1 (2,3)
8. А→¬(¬А)⊧1(7)
9. ¬(¬А)⊧1→¬А⊧0→А⊧1 (2,3)
10. ¬(¬А)→А⊧1 (9)
11. А↔¬(¬А)⊧1 (8,10)
12. А≡¬(¬А)⊧1 (1,11) теорема снятия двойного отрицания
13. (А∧А)∨(А≡А)≡А∨А (1,4) теорема объёма в дизъюнкции
14. ¬(А∨¬А)⊧1(2, 13)
15. А∧А↔¬(А∨¬А)⊧1 (4,14) теорема Моргана
16. ¬А∨¬¬А⊧1(5, 15)
17. А∨¬А⊧1(12, 16) теорема несовместной дизъюнкции
18. АͰА⊕В|В↔¬А (1,17) правило референтно-дизъюнктивного введения
19. А⊕В⊧1Ͱ(А⊧U, B⊧U) (18) введение неопределенности
20. А⊕В⊕С≡(А∧¬В∧¬С)∨(В∧¬А∧¬С)∨ (С∧¬А∧¬В) (18, 19) третье дано
- Овчарёв Виталий
- Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь
Философский штурм | Совместное философское творчество © 2006-2014
Сайт представляет собой площадку для функционирования философского интернет-сообщества, участники которого заинтересованы не только в индивидуальном, но и в коллективном философском творчестве.
Комментарии
Боюсь, что это так же должна быть аксиома.
Так же хотелось бы посмотреть на доказательства теорем, доказуемы ли они в Вашей аксиоматической системе, не требуют ли дополнительных аксиом.
Выводится. Если А тождественно само себе, то неверно, что А тождественно не-А. Впрочем, у меня тоже могут быть косяки. Если найдёте ))
Вы понимаете, что если А тожественна самой себе, то она и тождественна самой себе, а не другой А?
Вы же, как Виталий Овчарёв, тождественны самому себе и не отождествляете себя себя с каким-то другим Виталием Овчарёвым...,))
Нет, в Вашей системе, которая на этом этапе состоит из одной единственной аксиомы, это ниоткуда не выводится. Как и у Аристотеля, это не выводится, а просто постулируется, считай ещё одна аксиома. Похоже Вы по умолчанию применяете логику Аристотеля, а это не допустимо, если Вы строите свою собственную логическую систему. Надо задать правило вывода, где оно у Вас кстати? Задать систему аксиом, пусть даже из одной единственной, а всё остальное выводить по правилу вывода из этих аксиом, не оглядываясь на существующие иные системы.
Плюс отсутствие экспликации использованных символов.
Что это значит? Автор предполагает известным обозначение символов. Значит то, что контрабандой протаскивается классическая формальная логика предикатов и высказываний, в фоновом режиме.
--
Тут только логика высказываний протаскивается )) по сути это она и есть, но с изменённой аксиоматикой, а правила вывода те же самые - модус поненс, толленс и транспаренция. В принципе, правила вывода можно применять любые, какие есть у Аристотеля. Это те же самые силлогизмы, но формализованные. Синтаксис тот же. К истине и лжи добавлено ещё одно значение: неопределенность U. И в качестве важного операнда - несовместная дизъюнкция. Здесь также используется вертикальная черта, задающая условие выполнимости формулы.
>>ниоткуда не выводится. >> Голословно. Я же показал, как выводится. Это не проблема выводимости, это проблема восприятия доказательства.
Нет, не показали. У Вас есть одна единственная истина - истина тавтологии. Всё. ЛЮБОЕ другое (не тавтологическое) высказывание требует доказательства истинности, либо оно новый постулат/аксиома. И нет других ходов. Вы можете либо сыпать тавтологиями, т.е. топтаться на месте, либо вводить новую аксиому, позволяющую выйти из круга простой самотождественности самотождественного. Аристотель это понял, посему выдал сразу три аксиомы/закона, а не одну.
Ну как бы доходчивей объяснить. Нарисуйте кружок на листике и напишите внутри А. Кружок, он и есть кружок, и это истина. А теперь напишите за пределами кружка не-А. Неверно утверждать, что то что за пределами кружка и то что внутри это одно и то же. Потому что одно и то же - внутри. И это тоже будет истина.
Ну вот, Вы и требуете отнестись к этому как к само разумеющейся истине, сиречь аксиоме. Не в рамках логической системы, а в рамках обыденных представлений, детских рисунков и т.д. А теперь попробуйте всё то же самое, только в рамках своей логической системы, состоящей всего из одного утверждения:
А≡А⊧1
Без кружков и прочих апелляций к "здравому смыслу". Формально.
Вы смешиваете аксиоматику и синтаксис. Синтаксис это не аксиоматика. Отрицание относится к синтаксису. Вы можете на основе синтаксиса получить отрицание А, и это не будет аксиома. Это логическая операция. Унарная.
Аксиома и теорема - это высказывания. И вы этими высказываниями оперируете. Используя синтаксис.
При чём тут синтаксис?
Вы строите аксиоматическую систему, в ней весь внешний мир, его содержание, представлен аксиомами. Это всё, что берётся извне, всё остальное получается из этого набора, как внутреннее содержание. Если Вы из всего внешнего мира взяли лишь утверждение, что А тождественно само себе, и больше НИКАКИХ утверждений, то далеко Вы не уедете. Потому что из этого утверждения никак не следует, что А не тождественно ещё чему-то.
Если А тождественно ещё чему то, то А не тождественно себе
На основании чего Вы делаете это утверждение? В Вашей системе про это ни слова не сказано. У Вас одно единственное утверждение: А тождественно А. Всё.
У вас какое то собственное понимание тождества. Но об этом не спорят. Это аксиома. Ну нравится вам думать, что можно находиться одновременно в двух местах, или в двух временах - что ж... Не спорю
Почему важно сводить теорию к одной-двум аксиомам? Аксиома - это по сути допущение в истинности. Чем меньше аксиом, тем меньше допущений, тем сильнее теория, и тогда она не склонна к противоречивости. Если мы превращаем аксиому в теорему, это очень круто.
Второе. Такая выводимость даёт возможность ненасильственно проложить путь из двузначной логики в трёхзначную.