Систематизация и связи

История философии

Натурфилософия

Философия науки и техники

Наука и техника

Урок  астрономии 2.  Меркурий.

(или почему он не стороне  ОТО)

На первом уроке разобрали работу важнейшего следствия правил Кеплера 3/2. А именно:  правила Ньютона-Дюилье  для центральной силы  (в просторечьи – "закон тяготения"):

F = – GMm/R^2                (1)

Она обеспечивает движение планет вокруг центра по эллиптическим ( стационарным ! ) орбитам.

R (φ) = p / (1 –  e cos(φ))

Где е = (1 – (b/a) ²) ^1/2 – экcцентриситет, р =  b – параметр, φ – азимут  

То же правило вызывает весьма запутанное движение Солнца около общего центра (барицентра 0.0 ) с максимальным (т.е. при полном "параде планет)  отклонениями от него до 1.52 млн км (радиус Солнца 0.7). Относительно радиуса планетарных орбит это не мало ( Меркурия – около 3%, Венеры 2%, земли 1  …)

Тут по ходу пьесы: отчего такая путаница и повлияет ли на форму орбит ?

В таблице – данные о самых заметных составляющих нашего Космоса – Солнечной системы.

	Радиус R	Период  Т	Эксцент-риситет	Наклон Орбиты	скорость	Масса	бари-центр
	млн. км	сутки		градусы	км/сек	г	млн. км
Солнце	0.696	25.38	–	–	2	1.99E+33	1.526*
Луна*	0.38844	27.32166*	0.0579		1.023	7.35E+25	0.000006
Меркурий	57.91	87.969	0.2056	7.0	47.9	3.17E+26	0.000009
Венера	108.21	224.701	0.006818	3.4	35.05	4.87E+27	0.000265
Земля	149.6	365.256	0.01675	0.0	29.8	5.98E+27	0.000450
Марс	227.9	686.98	0.09331	1.9	24.14	6.44E+26	0.000074
Юпитер	778.3	4332.6	0.04833	1.3	13.06	1.90E+30	0.742709
Сатурн	1428	10759.2	0.05589	2.5	9.65	5.69E+29	0.408308
Уран	2872	30686	0.047	0.8	6.8	8.70E+28	0.125560
Нептун	4498	60184	0.087	1.8	5.43	1.03E+29	0.232811
Плутон	5910	90700	0.247	17.1	4.74	1.20E+25	0.000036
* относит. Земли		*смена фаз 29.53059					*полный  парад
Галактика	7.71E+11					1.00E+43
Вселенная	1.23E+17					1e54...3e56

 

Поверим алгеброй гармонию Кеплер-Ньютона
R³/T²
 Для чего поcтроим график зависимоcти логарифма радиуса орбит планет R [ а.е.] от логарифма периода Т [годы] обращения по ним.
Получается прямая на рисунке с отклонением наблюдательных данных  от правила 3/2 – 0.013%  и разбросом 0.07% .
К слову, согласно "Таблиц физических величин" (Атомиздат 1976)  
G = 6.67259e-8 см³/г/с² ) с погрешностью 0.013%. Недавно физики США получили  G = 6.67387e-8 : на 0.019% больше табличного. И пишут, что это – на 0.024% меньше ранее полученного французами.
Вот так: проходят века, всё совершеннне экспериментальное оборудование, а загадка 3/2, над коей ломал голову ещё сам Гегель, остаётся.
Ведь в его "Энциклопедии философских наук" пространство и время – диалектическая пара. А куб радиуса в правиле Кеплера несомненно опредёлён чисто геомтерически: от трёхмерности пространства, в котором обитаем– залог особой устойчивости планетных орбит. как обсудили на первом уроке.
Но вот почему время в правиле "квадратное", будучи в бытии не только одномерным, но и однонаправленным?  Логично бы – тоже трёхмерным. Да ещё и разным по х, у и z ?

 

И ещё загадка: зияющий пробел между Марсом  и Юпитером. Там  бы ещё планету (Фаэтон греческих мифов).  И таки-да, как говорят в Одессе: их там куча-мала: Церера (диаметр 1006 км), Паллада(583), Веста(555),  Гигия(443) … А к ним – более 3000 астероидов до 1 км (предел обнаружения). И вовсе небезобидных: около 1300 – с орбитами, пересекающимися с земной. И способными, как сплагают,  падать на неё раз в 100 000 лет. И не известно, сколько камней до 100 м диаметром, да и 10 м – тоже тот ещё подарочек.
Так что, когда человечество разберётся со своими сварами, то первая общая задача – ликвидация именно этой угрозы.

Для сравнения в таблице приведены данные для Галактики.  А также вселенной, где, как полагают, триллионы таких звёздных поселений. В целом Вселенная раз в 1е13 больше нашего космоса. А тот так же – нашего роста. Зато мы на 10 порядков побольше своих атомов и аж на 15 – протонов.  

К слову, отношение радиуса Вселенной к протонному порядка 1.6е41. Это – одно из больших чисел Поля Дирака. К ним близко отношение электрических сил между протоном и электроном к "гравитационным" 2.3e39, а между электроном и позитроном 4.2е42.

Так что картина Мира в целом как-то таинственно связана со свойствами базовых – самых малых его составляющих.

Но вернёмся к (1), определяющего общее хозяйство. Если отключить (1) – всё разлетится в совсем дикий Хаос: ни космосов около звёзд, ни самих звёзд, ни галактик. Звёзды и газовые планеты-гиганты разорвёт внутреннее давление с распылением по вселенной мелкими атомами, да молекулами (ведь химические силы с электричеством мы не отменили !).
Внутреннее давление выбросит в хаос атмосферы всех планет. За атмосферами – моря и океаны. Отпрыгнет всё, прижатое своим весом: камни, песок, мусор … Автомобили подбросит давление их шин. Нас – противодействующая весу упругая сила собственного скелета... К этому добавится движению по касательной из-за вращения небесных тел.
Мантия разорвёт кору по всем известным и новым разломам, пошлёт эти обломки вслед за океанами, да и сама разорвётся внутренними газами на мелкие брызги с кусками пемзы  . Меркурий, Марс, Луна, другие малые планеты или их обломки, если не разорвутся, то к  рои астероидов с комет  присоединятся  ко вселенской загазовке от звёзд. И станут собирателями новых тел вследствие электромагнитного притяжения, химического прилипания и конденсации.

Тут  должны бы возникнуть вопросы: а куда делись электрические силы ?

( А туда же, что и сейчас: есть магнитные небесные тела:Земля, Юпитер, Солнце …,  но нет электрически заряженных)
И ещё: сточки зрения астрофизики, работа всех звёзд обусловлена взаимным притяжением больших масс водорода. Создающих в центре достаточное давление для термоядерного синтеза 4-х атомов водорода в атом гелия.
А способны ли на это магнитные и химические силы ?

.

Как сказано на первом уроке, орбиты у планет не круговые – эллиптические.
R(ϕ) = p/(1+ е соs(ϕ))
      ϕ – азимут планеты,p – параметр, е = (1 - (b/a) ²) ^1/2 – экcцентриситет (у окружности а =  b, е = 0), а = р/(1- е²) – большая полуось, b – малая

Наибольшие эксцентриситеты у самой удалённой планеты – Плутона и ближайшей к Солнцу – Меркурия.

Особенности  движения последнего сыграли особую роль в истории науки.
Дело в том, что ещё в 19-м веке Леверье обнаружил феномен не стационарности орбиты Меркурия. В том смысле, что она не замкнута сама на себя, как положено эллипсу, а как бы поворачивается. Медленно: за век на 570 угловых секунд. У других планет намного медленнее: у Венеры 8.6, Земли 3.8, Марса 1.35... В сети ситуацию поясняют картинкой, подобной полученной на первом уроке, для движения в поле центральной силы, несколько отличающейся от (1). Например, как в ОТО Эйнштейна (фактор на картинке 1 + rg/R).
Леверье предположил, что такое искажение вызвано возмущающим действием других планет. Но оценив их суммарное возмущение, получил поворот 537, что на 43 меньше наблюдаемого.
Фактор Эйнштейна аккурат восполняет эту недостачу.
Что принято считать чуть ли не решающим аргументом в пользу ОТО. Что ж, сейчас у нас есть возможность оценим состоятельность этого утверждения.

Астрономия веками была хоть и наиточнейшей (эталонной, можно сказать) дисциплиной, но при этом сугубо созерцательной. В отличие от опытной науки Бэкона, Галилея, Ньютона... С цикличностью: созерцание – гипотеза – опыт – теория. Её полагают  состоятельной, пока  не обнаруживают расхождение с более точными опытными данными: сей прогресс.
Как 'то, собственно, и происходит в той же меркуриане.

На рисунке показана наблюдаемая c Земли  траектория двух оборотов объекта вокруг Солнца 

Тут полезно задать ряд дидактических вопросов юношеству

1. Почему эллипс  так причудливо выглядит?
2. Почему два картиночных оборота заняли аж 7  месяцев,  тогда как  по таблице должно быть дня на 4 меньше  6?
3. Почему размах орбиты по горизонтали от 14, 16 до -16, -20 градусо,в  тогда как при с дистанции 149.6 радиус орбиты 58 должен быть виден с размахом  -+33 градуса?

Мы не можем поставить натурный эксперимент, зато можем численный с помощью достаточно мощного ПК. Понынешним временам доступного практически каждому.

Тут, в порядке дидактической интриги напомнил бы об про одном, но фундаментальном преимуществе ИИ над человеческим.
А именно : строго-абстрактная рассудочность (первый, если кто не в курсе, момент объективного мышленияв Гегелевом логическом).
Потому как работа всех гигантских цифровых, информационных, вычислительных, связных индустрий, мышление всех железных калькуляторов сводится к 4-м правилам сложения 0 + 0 = 0 ;0 + 1 = 1 ; 1 + 0 = 1 ; 1 + 1 = 10 (2 в переводе на 10-й код).
А преимущество разума человеческого в том, что не теряется при сбоях рассудка. Так как машинное2 х 2 конечно = 4 , но с вероятностью < 1. Потому что из-за шумов-помех  1 на входе логического элемента может быть воспринято как 0 , а он – как 1.

 

Сначала исследуем точностные характеристикиэкспериментального оборудования.
На расчёте траектории из начальной координаты в простейшей модели (1)
х = 1 , у = 0 со скоростью Vx =  0 , Vy = 1  в поле центральной силой
F  = - 1/R^2.
Распишем алгоритм интегрирования уравнений движения по координатам
'' = – x/R^3 ;    у'' = – у/R^3
Задавшись некоторым шагом  по времени dt для вычисления х, у:
Ах = – x/R^3 ; Ау  = – у/R^3
х = Vx + Ах * dt  ; Vу = Vу + Ау * dt
х = х + Vx * dt  ; у = у + Vу * dt

Точное решение – окружность с радиусом r = 1 . По виду на рисунке траектория стационарна: все окружности совпадают, "как и положено". Но "под микроскопом". На рисунке слева в окрестности пунктов х,у = 1,0 .

Тут – резкий "старт" по х к центру первого витка из пункта 1,0 . Тогда как должен быть строго вверх по у (по касательной к окружности).
Сей фальстарт устраняет простая перестановка операторов
х = х + Vx * dt  ; Vх = Vx + Ах * dt  ; Ах = – x/R^3 ;
у = у + Vу * dt  ; Vу = Vу + Ау * dt  ; Ау  = – у/R^3

Мыслимы и иные, более точные методы, но посложнее.

Траектория, как видно , не стационарная, не замкнутая на себя окружность, не эллипс а что-то вроде запутанного и расширяющегося клубка. На рисунке – полоса 5е-6(0.0005% радиуса). Хотя есть нечто вроде перигея (вверху)и апогея внизу) .

Разумеется, сие – сугубо счётные артефакты. На заре цифро-компьютерной это называли: " машинный еррор" или "зеро".(нуль). Осваива я всякую новую вычислительную технику, их определяли первым делом.
Сами по себе интересные и поучительны, но мимо нашей цели. Просто отметим, что уменьшение dt, всё это уменьшает. С увеличением, разумеется, длительности счёта. Кроме этого, замечено, что снижении dt счётные ошибки  достигая минимума, начинают возрастать..

Впрочем, здесь такие огрехи счета – результатом достаточно грубого шагаdt = 0.00063  (с целью демонстрации). В дальнейшем dt снижаем на порядки величины.

Посмотрим, как выглядят 100 оборотов "эллипса" c  е =0.2056 (как у Меркурия)

В центре обзор как бы приличный: перигелий чуть правее –1, как и положено, справа – афелий при 1. Под микроскопом начало – как у окружности. Остальные участки  узорно петляют.

На рисунках показаны графики отклонений от 0 градусов углового положения расчётных афелиев  и перигелиев (от 180).

 

 

Вместо строгих горизонталей – шум с размахом от 0.2 до 0.4 угловой секунды . Он же характерен для угла линии перигелий-афелий (апсида)

Это – систематическая ошибка самого вычислительного метода. И её вычтем из результата.

Для справок:
у Леверье теоретическое значение смещения совой составило 527″ за сто лет, а по наблюдениям 565″. То есть, с невязкой 38″, веками интриговавшей всех астрономов.  По современным данным 570″  (невязка 43″).

Теперь введём в игру Венеру, включив её в приведенный выше алгоритм

xve = rve * Cos(fve): yve = rve * Sin(fve):
Rvm= Sqr((xve – x) ^ 2 + (yve – y) ^ 2)
Ax = – G * M * x / r ^ 3: Ay = – G * M * y / r ^ 3
Ax = Ax – G * Mve * (xve – x) / Rvm ^ 3
Ay = Ay – G * Mve * (yve – y) / Rvm ^ 3
Vx = Vx + Ax * dt:Vy = Vy + Ay * dt
x = x + Vx * dt:y = y + Vy * dt

Где xve, yve – координаты Венеры на плоскости эклиптики, fve – орбитальный азимут, rve – радиус  её орбиты, Rvm – расстояние Венера-Меркурий.
М – масса Солнца,
G = 6.672е-8  см3/(г с^2) – постоянная Ньютона-Дюилье.

Как видно, алгоритм существенно упрощён тем, что в нём Венера движение по окружности. А строго говоря, надо бы записать уравнения её движения. Кроме того, Солнце полагаем неподвижным в пункте 0,0 , хотя на самом деле это не так. И его тоже следует ввести в систему уравнений. Равно как и все остальные планеты.

На рисунках – графики поворотов афелия и перигелия. Расчётно-вый для Венеры 343  секунды за век.  

Всего на 20% больше, чем у Леверье. Остаётся лишщатьсяразумом учёных 15-19 вв : Коперника, Браге, Галилея, Дюилье, Ньютона, Кеплера, Леверье .. .

Само по себе это не удивляет, так как из первого урока знаем, что не стационарность орбиты Меркурия может вызвать действие на него не солнечной силы. Например, от других планет. Они, хоть и на много порядков меньше, но в протяжение достаточного времени ( веков, тысяч лет…).

Так как внешние относительно Меркурия планеты в основном оттягивают его от олнца,как видно на рисунке  Разумеется, когда Венера за Солнцем, то помогает центральному светилу, но слабее. Так что в целом должен наблюдаться вековой отход Меркурия от центрального светила. 

Кроме общего оттягивания от Солнца планеты ускоряют ( т.е. замедляют!), когда еркурий их догоняет и тормозят (ускоряют) после обгона. И в основном эта составляющая планетарных сил сама себя компенсирует .
Но не полностью .

И вот тут юношеству вопрос : почему ? Ведь по виду ситуация симметрична ??

Да, была бы, кабы Венера стояла на месте. Но она сама движется вперёд и передаёт Меркурию часть своего хода, тормозась ( и,стало быть, ускоряясь!) .

В целом все внешние планеты вообще, а Юпитер – в особенности оттягивают Меркурий от Солнца. 
При этом можно подумать, что на этом пути в первую очередь он столкнётся с Венерой. Но не факт, так как ему надо ту и Венеру догонять. И Землю (она, как пишут, удаляется от Солнца на 15 см/год), Марс…

Тут, между прочим – масса недурных тем для УИРС (учебно-исследовательских работ студентов)

Теперь с подключением всех других планет,

Здесь на прецессию (пунктиры) накладываются колебания апсид с амплитудой до 400 угловых секунд – около 0.1 градуса (!).
А ловить надо доли секунды (!!) .
Здесь конкретно поворот апсид 618″ за 100 лет.  

Как видно, вместо почти гладких  венерианских поворотов - жуткая болтанка с размахом до 400 ″.

И тут вопрос юношеству : почто так ? 
 

В целом прецессия (пунктиры)  превышает Леверьевский  расчёт 526.7″, его же наблюдение  565″ и современное 570″ тоже. Не будем, однако, спешить с выводами, так как на картинках расчётные колебания  для начального  полного парада планет. Это когда в начале движения Меркурия все планеты – по одну сторону от Солнца. и оно далеко 1,5 млн км  слева мот барицентрв 

Но если Юпитер по другую сторону, и барицентр около центра Солнце , то получится  375.9″.

Так что уже простейший численный опыт ставит под жирный вопрос все высокоучёные рассуждения о "невязках".
И, тем паче, "подверждениях" ОТО.

При том упрощении , что выше полагали Солнце неподвижным центром Мира (как у Коперника). Да только уже Ньютон знал, что оно ходит вокруг общего центра масс (барицентра), как показано на второй сверху картинке.
Что ж, включим это движение , да посмотрим, как это повлияет на "прецессию".

Начнём с такого начального  положения планет, когда Солнце  почти в центре (правая картинка) . Тогда "прецессия" 182. Намного меньше Леверьевской и наблюдаемой. Но хотя бы того же знака. 
Зато при полном параде (левая картинка) она аж отрицательная –229 . 

Тут следует особо отметить, что для демонстрации работали с редким расположением планет. Скажем, предыдущий  парад был в 6-м веке, а следующий предполагают в 25-м.
Расчёты для планетной обстановки 16-19 вв (Коперник, Галилей, Браге, Кеплер, Ломоносов, Леверье) – начала эры инструментальной астрономии ( хронометры, телескопы)  дают результаты близкие Леверьевским.  Но опять же,–  не подтверждающим, мягко говоря, спекуляции на предмет "подстверждения ОТО".

 

Таков, можно сказать, первый урок экспериментальной астрономии.

На следующем уроке промоделируем судьбу пары Земля-Луна.